（1）令x=y=1，f（2）=f（1）+f（1）+12+2k+3⇒k=0，则f（x+y）=f（x）+f（y）+3xy（x+y+2）+3

对于x，y∈R都成立

令x=t（t∈N*），y=1f（t+1）=f（t）+f（1）+3t（t+3）+3⇒f（t+1）-f（t）=3t²+9t+4⇒f（2）-f（1）=3×1²+9×1+4f（3）-f（2）=3×2²+9×2+4

…f（t）=f（t-1）=3（t-1）²+9×（t-1）+4

用叠加法 f（t）-f（1）=3[1²+2²+…+（t-1）²]+9[1+2+…+（t-1）]+4+4•k…+4=3•

1

6

(t-1)•t•(2t-1)+9•

1

2

(t-1)•t+4(t-1)=t³+3t²-4

∴f（t）=t³+3t²-3（t≥2）又t=1适合上式f（t）=t³+3t²-3（t≥2）（t∈N*）

（2）若t∈N*，则t³+3t²-3=t⇒t³-t+3（t²+1）=0⇒（t-1）（t+1）（t+3）=0⇒t₁=1，t₂=-1，t₃=-3（舍）

又令x=y=0f（0）=-3

令y=-x-3=f（x）+f（-x）+（-6x²）+3⇒f（x）+f（-x）=6x²-6对x∈R都成立

若t为负整数，则f（t）=6t²-6-f（-t）=6t²-6+t³-3t²+3=t³+3t²-3

由t³+3t²-3=t（t+3）（t+1）（t-1）⇒t₁=-3，t₂=-1，t₃=1（舍）

若t=0，则f（t）═t无解   综上，满足f（t）=t，所有整数t为1，-1，-3；

（3）要使不等式恒成立，则只需m≤

t3+3t2-t-3

t2+4t+3

对t≥4，且t∈N*恒成立

即m≤

(t+3)(t+1)(t-1)

(t+3)(t+1)

=t-1对t≥4，且t∈N*恒成立

即且m≤（t-1）_min=3

实数m最大值为3