问题
解答题
| 已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）=1， （1）求证：f（1）=0； （2）求f（
（3）解不等式f（x）+f（x-3）≤1． |
答案
（1）证明：令x=4，y=1，则f（4）=f（4×1）=f（4）+f（1）．
∴f（1）=0．
（2）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（1）=f（
×16）=f（1 16
）+f（16）=0，1 16
故f（
）=-2．1 16
（3）设x1，x2＞0且x1＞x2，于是f（
）＞0，x1 x2
∴f（x1）=f（
×x2）=f（x1 x2
）+f（x2）＞f（x2）．x1 x2
∴f（x）为x∈（0，+∞）上的增函数．
又∵f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]≤1=f（4），
∴
⇒3＜x≤4．x＞0 x-3＞0 x(x-3)≤4
∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4}．