问题
解答题
| 若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m． （1）若x2-1比1远离0，求x的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab
（3）已知函数f（x）的定义域D={{x|x≠
|
答案
（1）根据定义可得：|x2-1|＞1
∴x2-1＞1或x2-1＜-1
解得x∈(-∞，-
)∪(2
．+∞)2
（2）证明：欲证明a3+b3比a2b+ab2远离2abab
即证|a3+b3-2ab
|＞|a2b+ab2-2abab
|，又任意两个不相等的正数a、bab
即证|
+b2 a
-2a2 b
|＞|a+b-2ab
|ab
由于a+b≥2
，ab
+b2 a
-(a+b)=a2 b
＞0(a+b)(a2+b2-2ab) ab
∴
+b2 a
＞a+b＞2a2 b ab
即证|
+b2 a
-2a2 b
|＞|a+b-2ab
|成立ab
∴|a3+b3-2ab
|＞|a2b+ab2-2abab
|ab
（3）由题意知f(x)=sinx ，x∈(kπ+
，kπ+π 4
)3π 4 cosx ，x∈(kπ-
，kπ+π 4
)π 4
性质：①函数是偶函数；
②周期T=π 2
③在区间[
+kπ 2
，π 4
+kπ 2
]k∈z是增函数，在[π 2
-kπ 2
，π 4
+kπ 2
]k∈z是减函数π 4
④最大值为1，最小值为2 2
⑤定义域D={{x|x≠
+kπ 2
，k∈Z，x∈R}π 4