问题 选择题

过抛物线的焦点作直线与抛物线交于A、B两点,以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是(  )

A.相离

B.相切

C.相交

D.不确定

答案

不妨设抛物线为标准抛物线:y2=2px (p>0 ),即抛物线位于Y轴的右侧,以X轴为对称轴.

设过焦点的弦为PQ,PQ的中点是M,M到准线的距离是d.

而P到准线的距离d1=|PF|,Q到准线的距离d2=|QF|.

又M到准线的距离d是梯形的中位线,故有d=

|PF|+|QF|
2

由抛物线的定义可得:

|PF|+|QF|
2
=
|PQ|
2
=半径.

所以圆心M到准线的距离等于半径,

所以圆与准线是相切.

故选B.

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