问题
解答题
已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(
（Ⅰ）验证函数f(x)=ln
（Ⅱ）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明． |
答案
（Ⅰ）由
＞0可得-1＜x＜1，即其定义域为（-1，1）1-x 1+x
又f(x)+f(y)=ln
+ln1-x 1+x
=ln(1-y 1+y
•1-x 1+x
)=ln1-y 1+y
=ln1-x-y+xy 1+x+y+xy
=f(1- x+y 1+xy 1+ x+y 1+xy
)x+y 1+xy
又当x＜0时，1-x＞1+x＞0，∴
＞1∴ln1-x 1+x
＞01-x 1+x
故f(x)=ln
满足这些条件．（3分）1-x 1+x
（Ⅱ）∵f（0）+f（0）=f（0）⇒f（0）=0
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0⇒f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(
)x-y 1-xy
当-1＜x＜y＜1时，
＜0，由条件知f(x-y 1-xy
)＞0，x-y 1-xy
即f（x）-f（y）＞0∴f（x）在（-1，1）上是减函数．