问题
填空题
已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意m＞0，n＞0，都有f（m﹒n）=f（m）+f（n）-2，且当x＞1时，f（x）＞2，设f（x）在[
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答案
令n=1，得f（m﹒1）=f（m）+f（1）-2
∴f（m）=f（m）+f（1）-2，可得f（1）=2
令n=
，得f（1）=f（m•1 m
）=f（m）+f（1 m
）-2=2，1 m
∴f（m）+f（
）=4，…（*）1 m
可得f（
）=4-f（m）1 m
当0＜x1＜x2时，
＞1x2 x1
∴f（
）=f（x2•x2 x1
）=f（x2）+f（1 x1
）-2＞21 x1
∵f（
）=4-f（x1）1 x1
∴代入上式，可得f（x2）+（4-f（x1））-2＞2，得f（x2）-f（x1）＞0
因此f（x1）＜f（x2），可得f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数
∴f（x）在[
，10]上的最大值为P=f（1 10
），最小值为Q=f（10）1 10
由（*）得f（
）+f（10）=4，可得P+Q=41 10