对于①，先令x=3，即有f（-3）=f（3）+f（3），

再依据函数y=f（x）是R上的偶函数，有f（-3）=f（3），得f（3）=0，

这样f（x-6）=f（x）+f（3）=f（x）函数f（x）的周期就是6，

因此f（2010）=f（335×6）=f（0）=-2；

对于②，∵f（x-6）=f（x）+f（3），

又∵f（-x-6）=f（-x）+f（3），且f（-x）=f（x）

∴f（-6+x）=f（-6-x）

∴直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，故②对；

对于③，首先根据：当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有

说明函数在区间[0，3]上是增函数，再结合函数的周期为6，

将区间[0，3]右移6个单位，可得函数在[6，9]上为增函数

又∵函数为偶函数，在关于原点对称的区间上单调性相反

∴函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数，可得③不正确；

对于④，根据①的结论，f（-3）=f（3）=0，再结合函数周期为6

得f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，

再根据在某个区间上的单调函数在这个区间内至多有一个零点，

得函数f（x）在[-9，9]上只有以上4个零点，所以④正确．

故答案为①②④．