问题
解答题
| 定义在（0，+∞）的函数f（x），对于任意的a，b∈（0，+∞），都有f（ab）=f（a）+f（b）成立，当x＞1时，f（x）＜0． （1）求证：1是函数f（x）的零点； （2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明； （3）若f(
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答案
证明：（1）令a=b=1，
则f（1×1）=f（1）+f（1）=f（1），
∴f（1）=0
∴1是函数f（x）的零点．
（2）令a=x，b=
，1 x
则f（1）=f（x•
）=f（x）+f（1 x
）=0，1 x
∴f（
）=-f（x），1 x
任意x1、x2∈（0，+∞），且x2＞x1＞0，
∴
＞1，x2 x1
∴f(
) =f(x2) +f(x2 x1
) =f(x2) -f(x1)＜0，1 x1
∴f（x2）＜f（x1）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数．
（3）∵f(
) =f(1 16
) +f(1 4
) =1 4
+1 2
=1，1 2
∴不等式f(mx+
)＞1．即为：f(mx+1 16
)＞f(1 16
)，1 16
又因为函数f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，
∴0＜mx+
＜1 16
，又∵m＞0，1 16
解得：-
＜x＜01 16m
故不等式的解集为：x|-
＜x＜0}．1 16m