问题
解答题
| （1）求证关于x的一元二次方程x2+（m-3）x-3m=0一定有两个实数根； （2）若关于x的方程x2-2
（3）设（1）中方程的两根为a、b，若（2）中的k为整数，且以k、a、b为边的三角形恰好是一个直角三角形，试求m的值． |
答案
（1）∵a=1，b=m-3，c=-3m，
∴△=（m-3）2-4×1×（-3m）
=m2+6m+9
=（m+3）2≥0，
∴关于x的一元二次方程x2+（m-3）x-3m=0一定有两个实数根；
（2）∵a=1，b=-2
，c=3k-6，2k-3
∴△=（-2
）2-4×1×（3k-6）2k-3
=8k-12-12k+24
=-4k+12，
∵关于x的方程x2-2
x+3k-6=0有两个不相等的实数根，2k-3
∴△=-4k+12＞0，
解得：k＜3；
∵2k-3≥0，
∴k≥
，3 2
∴
≤k＜3；3 2
（3）∵x2+（m-3）x-3m=0，
∴（x+m）（x-3）=0，
解得：x1=-m，x2=3，
∴a=-m，b=3，
∵k为整数，
∴k=2，
若k2+a2=b2，
即4+（-m）2=9，
∴m=±
，5
∵a=-m＞0，
∴m＜0，
∴m=-
，5
若k2+b2=a2，
则4+9=（-m）2，
解得m=±
，13
∵m＜0，
∴m=-
，13
∴m的值为-
或-5
．13