已知f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(4)=1,对任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),当x∈(0,1)时,f(x)<0.
(1)求f(1);
(2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3.
(1)∵对任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),
令x1=x2=1,
f(1•1)=f(1)+f(1),
则f(1)=0(2分)
(2)设x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,
∵对任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),
∴则f(x1)-f(x2)=f(
)x1 x2
∵0<x1<x2,
∴0<
<1,又当x∈(0,1)时,f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)=f(x1 x2
)<0,x1 x2
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数(7分)
(3)令x1=x2=4,则f(16)=f(4)+f(4)=2,
令x1=4,x2=16,则f(64)=f(4)+f(16)=3(9分)
∴f(3x+1)+f(2x-6)≤3=f(64)
∴
∴x∈(3,5](12分)3x+1>0 2x-6>0 (3x+1)(2x-6)≤64