问题 解答题

已知f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(4)=1,对任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),当x∈(0,1)时,f(x)<0.

(1)求f(1);              

(2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数;

(3)解不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3.

答案

(1)∵对任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),

令x1=x2=1,

f(1•1)=f(1)+f(1),

则f(1)=0(2分)

(2)设x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2

∵对任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),

∴则f(x1)-f(x2)=f(

x1
x2

∵0<x1<x2

∴0<

x1
x2
<1,又当x∈(0,1)时,f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)=f(
x1
x2
)<0

∴f(x)在(0,+∞)上是增函数(7分)

(3)令x1=x2=4,则f(16)=f(4)+f(4)=2,

令x1=4,x2=16,则f(64)=f(4)+f(16)=3(9分)

∴f(3x+1)+f(2x-6)≤3=f(64)

3x+1>0
2x-6>0
(3x+1)(2x-6)≤64
∴x∈(3,5](12分)

单项选择题
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