问题
解答题
已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（4）=1，对任意x1，x2（0，+∞），都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），当x∈（0，1）时，f（x）＜0．
（1）求f（1）；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．
答案
（1）∵对任意x1，x2（0，+∞），都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），
令x1=x2=1，
f（1•1）=f（1）+f（1），
则f（1）=0（2分）
（2）设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
∵对任意x1，x2（0，+∞），都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），
∴则f（x1）-f（x2）=f（
）x1 x2
∵0＜x1＜x2，
∴0＜
＜1，又当x∈（0，1）时，f（x）＜0，∴f（x1）-f（x2）=f(x1 x2
)＜0，x1 x2
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数（7分）
（3）令x1=x2=4，则f（16）=f（4）+f（4）=2，
令x1=4，x2=16，则f（64）=f（4）+f（16）=3（9分）
∴f（3x+1）+f（2x-6）≤3=f（64）
∴
∴x∈（3，5]（12分）3x+1＞0 2x-6＞0 (3x+1)(2x-6)≤64