设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF

由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|

在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．

由余弦定理得，

|AB|²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab

配方得，|AB|²=（a+b）²-ab，

又∵ab≤（

a+b

2

）2，

∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-

1

4

（a+b）²=

3

4

（a+b）²

得到|AB|≥

3

2

（a+b）．

所以

|MN|

|AB|

≤

1 2 (a+b)

3 2 (a+b)

=

3

3

，即

|MN|

|AB|

的最大值为

3

3

．

故选：A