已知以向量v=(1，12)为方向向量的直线l过点(0，54)，抛物线C：y2=2

问题解答题

已知以向量

=(1，

)为方向向量的直线l过点(0，

)，抛物线C：y²=2px（p＞0）的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若

•

+p2=0（O为原点，A、B异于原点），试求点N的轨迹方程．

答案

（Ⅰ）由题意可得直线l：y=

①

过原点垂直于l的直线方程为y=-2x②

解①②得x=-

，即两直线的交点的横坐标为x=-

．

∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．

∴-

×2，p=2

∴抛物线C的方程为y²=4x．

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x，y），

由

•

+p2=0，得x₁x₂+y₁y₂+4=0．

又y12=4x1，y22=4x2．

代入上式

+y₁y₂+4=0．

解得y₁y₂=-8

又直线ON：y=

x，即y=

∵y=y₁，∴y₁y₂=4x

∵y₁y₂=-8

∴x=-2（y≠0）．

∴点N的轨迹方程为x=-2（y≠0）．