问题 解答题
已知等比数列{an}的前n项和An=(
1
3
)n-c
.数列{bn}(bn>0)的首项为c,且前n项和Sn满足
Sn
-
Sn-1
=1(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的通项公式;
(3)若数列{
1
bnbn+1
}前n项和为Tn,问Tn
1001
2010
的最小正整数n是多少?.
答案

(1)a1=A1=

1
3
-c,  a2=A2-A1=(
1
9
-c)-(
1
3
-c)=-
2
9
a3=A3-A2=(
1
27
-c)-(
1
9
-c)=-
2
27

又数列{an}成等比数列,

a1=

a22
a3
=
4
81
-
2
27
=-
2
3
=
1
3
-c

所以 c=1;

又公比q=

a2
a1
=
1
3

所以an=-

2
3
×(
1
3
) n-1=-2×(
1
3
)
n
,n∈N*

(2)∵

Sn
-
Sn-1
=1(n≥2),  S1=b1=1,

∴数列{

Sn
}是首项为1公差为1的等差数列.

Sn
=1+(n-1)×1.

∴Sn=n2

当n≥2,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.

∴bn=2n-1(n∈N*);                

(3)Tn=

1
b1b2
+
1
b2b3
+
1
b3b4
+…+
1
bnbn+1

=

1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
(2n-1)(2n+1)

=

1
2
(1-
1
3
)+
1
2
(
1
3
-
1
5
 )+…+
1
2
×
1
(2n-1)(2n+1)

=

1
2
(1-
1
2n+1
)

=

n
2n+1

Tn=

n
2n+1
1001
2010
n>
1001
8

故满足Tn

1001
2010
的最小正整数为126.

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