由题意f（2008）≤f（2006）+3×2²⁰⁰⁶≤f（2004）+3×（2²⁰⁰⁶+2²⁰⁰⁴）≤…≤f（0）+3×（2²⁰⁰⁶+2²⁰⁰⁴+…+2 ²+2 ⁰）=2008+3×

f（2008）≥f（2002）+63•2²⁰⁰²，≥f（1996）+63×（2²⁰⁰²+2¹⁹⁹⁶）≥f（1990）+63（2²⁰⁰²+2¹⁹⁹⁶+2¹⁹⁹⁰）≥…≥f（4）+63（2²⁰⁰²+2¹⁹⁹⁶+2¹⁹⁹⁰+…+2⁴）

=f（4）+63×

又已知，又由f（x+2）-f（x）≤3•2 ^x，f（x+6）-f（x）≥63•2 ^x可得f（x+6）-f（x+2）≥60•2 ^x=15•2 ^x+2，即f（x+4）-f（x）≥15•2 ^x，

再由f（x+2）-f（x）≤3•2^x，得f（x+4）-f（x+2）≤3•2 ^x+2，两者相加得，得f（x+4）-f（x）≤15•2^x，所以f（x+4）-f（x）=15•2^x，

∴f（4）-f（0）=15•2⁰=15

∴f（4）=f（0）+15=2008+15=2023，代入②

解得f（2008）≥2007+2²⁰⁰⁸③

由①③得（2008）=2007+2²⁰⁰⁸

故答案为：2007+2²⁰⁰⁸