问题 解答题
已知椭圆C:
x2
4
+
y2
3
=1

(1)双曲线与椭圆C具有相同的焦点,且它们的离心率互为倒数,求双曲线的方程;
(2)设椭圆C的右焦点为F2,A、B是椭圆上的点,且
AF2
=2
F2B
,求直线AB的斜率.
答案

(1)由已知,椭圆的焦点坐标为(-1,0),(1,0),离心率为

1
2

所以所求双曲线焦点坐标为(-1,0),(1,0),离心率为2,…(2分)

双曲线c=1,

c
a
=2,解得a2=
1
4
b2=
3
4

所求双曲线方程为4x2-

4y2
3
=1.…(4分)

(2)设A(x1,y1),由

AF2
=2
F2B
B(
3-x1
2
,-
y1
2
)
,…(5分)

由A,B两点在椭圆上,得

x12
4
+
y12
3
=1,
(3-x1)2
4
+
y12
3
=4
,…(8分)

解得x1=-

1
2
y1
3
4
5
,…(10分)

所以k=

y1
x1-1
5
2
.…(12分)

判断题
单项选择题