（1）a=1时，函数f（x）是凹函数，

此时f（x）=x²+x，f(

x1+x2

2

)=（

x1+x2

2

）²+（

x1+x2

2

），

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[x₁²+x₁+x₂²+x₂]，

作差得到：f(

x1+x2

2

)²-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]

=（

x1+x2

2

）²+（

x1+x2

2

）-

1

2

（x₁²+x₂²）-

1

2

（x₁+x₂）

=

x 21 +2x1x2+ x 22

4

-

2 x 21 +2 x 22

4

=

- x 21 +2x1x2- x 22

4

=-(

x1+x2

2

)2≤0，

即有f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，

故知函数f（x）=x²+x为凹函数；

（2）由-1≤f（x）=ax²+x≤1，

则有

ax2+x≥-1 ax2+x≤1

⇒

ax2≥-x-1 ax2≤-x+1.

i）若x=0时，则a∈R恒成立，

ii）若x∈（0，1]时，有

a≥- 1 x - 1 x2 a≤- 1 x + 1 x2

⇒

a≥-( 1 x + 1 2 )2+ 1 4    (1) a≤( 1 x - 1 2 )2- 1 4 .   (2)

∵0＜x≤1⇒

1

x

≥1．

∴当

1

x

=1时，a≥-(1+

1

2

)2+

1

4

=-2a≤(1-

1

2

)2-

1

4

=0

所以0≥a≥-2．