问题
解答题
定义在R上的函数f （x）满足：如果对任意x1，x2∈R，都有f(
（1）当a=1时，试判断函数f （x）是否为凹函数，并说明理由； （2）如果函数f （x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围． |
答案
（1）a=1时，函数f（x）是凹函数，
此时f（x）=x2+x，f(
)=（x1+x2 2
）2+（x1+x2 2
），x1+x2 2
[f（x1）+f（x2）]=1 2
[x12+x1+x22+x2]，1 2
作差得到：f(
)2-x1+x2 2
[f（x1）+f（x2）]1 2
=（
）2+（x1+x2 2
）-x1+x2 2
（x12+x22）-1 2
（x1+x2）1 2
=
-
+2x1x2+x 21 x 22 4 2
+2x 21 x 22 4
=
=-(-
+2x1x2-x 21 x 22 4
)2≤0，x1+x2 2
即有f(
)≤x1+x2 2
[f（x1）+f（x2）]，1 2
故知函数f（x）=x2+x为凹函数；
（2）由-1≤f（x）=ax2+x≤1，
则有
⇒ax2+x≥-1 ax2+x≤1 ax2≥-x-1 ax2≤-x+1.
i）若x=0时，则a∈R恒成立，
ii）若x∈（0，1]时，有
⇒a≥-
-1 x 1 x2 a≤-
+1 x 1 x2 a≥-(
+1 x
)2+1 2
(1)1 4 a≤(
-1 x
)2-1 2
. (2)1 4
∵0＜x≤1⇒
≥1．1 x
∴当
=1时，a≥-(1+1 x
)2+1 2
=-2a≤(1-1 4
)2-1 2
=01 4
所以0≥a≥-2．