问题
解答题
已知数列{an}满足：a1=1，a2=a（a＞0），数列{bn}满足bn=ana n+1（n∈N*）
（Ⅰ）若{an}是等差数列，且b3=12，求数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）若{an}是等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn．
（Ⅲ）若{bn}是公比为a﹣1的等比数列时，{an}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．
答案
解：（Ⅰ）∵{an}是等差数列a1=1，a2=a，bn=ana n+1，b3=12
∴b3=a3a4=（a1+2d）（（a1+3d）=（1+2d）（1+3d）=12
即d=1或d=
又因a=a1+d=1+d＞0得d＞﹣1
∴d=1
∴an=n
（Ⅱ）{an}是等比数列，首项a1=1，a2=a，
故公比
，
所以an=a n﹣1，
代入{bn}的表达式得bn=ana n+1=a 2n﹣1，可得
∴数列{bn}是以a为首项，公比为 a2的等比数列
故Sn=
（Ⅲ）{an}不能为等比数列，理由如下：
∵bn=ana n+1，{bn}是公比为a﹣1的等比数列
∴
∴a3=a﹣1
假设{an}为等比数列，由a1=1，a2=a得
a3=a2，
所以a2=a﹣1
因此此方程无解，
所以数列一定不能等比数列．