问题
选择题
已知函数f（x）满足f（1）=1，对于任意的实数x，y都满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2（x+y）+1，若x∈N*，则函数f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）=4x2-4x+1
B．f（x）=4x2+1
C．f（x）=x2-5x-5
D．f（x）=x2+3x-3
答案
由题意得：在f（x+y）=f（x）+f（y）+2（x+y）+1中令y=1，
则有f（x+1）=f（x）+f（1）+2（x+1）+1=f（x）+2x+4；
则f（x+1）-f（x）=2x+4；
所以：f（2）-f（1）=2×1+4；
f（3）-f（2）=2×2+4；
…
f（x）-f（x-1）=2（x-1）+4．
∴上面各式相加得：f（x）-f（1）
=2×1+2×2+…+2×（x-1）+4（x-1）
=2×
+4（x-1）(x-1)[1+(x-1)] 2
=x2+3x-4；
∴f（x）=f（1）+x2+3x-4=x2+3x-3．
故选：D．