问题
解答题
已知函数f（x）对任意的实数x，y都有：f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）是R上的增函数；
（2）若关于x的不等式f（x2-ax+5a）＜2的解集是{x|-3＜x＜2}，求f（2010）的值．
答案
（1）证明：设-∞＜x1＜x2＜+∞，则x2-x1＞0，
∴f（x2-x1）＞1
∴f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x1）+f（x2-x1）-1＞f（x1）
∴f（x）是R上的增函数．
（2）设f（b）=2，则f（x2-ax+5a）＜f（b）
⇔x2-ax+5a-b＜0⇔-3＜x＜2
∴
⇔-3+2=a -3×2=5a-b a=-1 b=1
∴f（1）=2．
在f（x+y）=f（x）+f（y）-1中，令x=n，y=1得f（n+1）=f（n）+f（1）-1
∴f（n+1）-f（n）=1．
∴数列{f（n）}是首项为2，公差为1的等差数列．
∴f（n）=2+（n-1）×1=n+1
∴f（2010）=2011．