问题
解答题
已知动圆S过点T（0，2）且被x轴截得的弦CD长为4。
（1）求动圆圆心S的轨迹E的方程；
（2）设P是直线l：y=x-2上任意一点，过P作轨迹E的切线PA，PB，A，B是切点，求证：直线AB恒过定点M；
（3）在（2）的条件下，过定点M作直线l：y=x-2的垂线，垂足为N，求证：MN是∠ANB的平分线。
答案
解：（1）设S（x，y），根据题意，
|ST|2=|SC|2=22+|y|2，
即
。
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）
所以
则PA：
，即
设P（t，t-2），P在PA上
同理，P在PB上
故x1，x2是方程
的两根
，
故恒过点（2，2）。
（3）证明：过点M所作垂线l1的方程为y-2=-（x-2）
x+y-4=0，解出垂足N（3，1）
MN的斜率为-1，故倾斜角为
若AN，BN的斜率均存在，则设其分别为k1，k2，
对应的倾斜角分别为α，β，
要证MN是∠ANB的平分线，只要证∠ANM=∠BNM，
即
，
即要证k1k2=1
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y= k（x-2）+2代入x2=4y，
得x2-4kx+8k-8=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=8k-8
y1+y2=k（x1-2）+2+k（x2-2）+2 =4k2-4k+4，②
将②，③代入①，得
当
时，k1k2=1，当
时，解得A，B两点的坐标分别为（-2，1），
，
验证AN与BN的斜率一个不存在，一个为零，
即∠ANM=∠BNM，
即MN是∠ANB的平分线。