问题
解答题
已知函数f（x）定义在区间(-1，1)上，f(
（I）在（-1，1）内求一个实数t，使得f(t)=2f(
（II）求证：数列{f（an）}是等比数列，并求f（an）的表达式； （III）设cn=
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答案
（I）f(t)=2f(
)=f(1 2
)+f(1 2
)=f(1 2
)=f(
+1 2 1 2 1+
×1 2 1 2
)，4 5
∴t=
…（2分）4 5
（II）∵f(a1)=f(
)=-1，1 2
且f(x)+f(y)=f(
)，x+y 1+xy
∴f(an+1)=f(
)=f(an)+f(an)=2f(an)，2an 1+ a 2n
即
=2f(an+1) f(an)
∴{f（an）}是以-1为首项，2为公比的等比数列，
∴f(an)=-2n-1．…（6分）
（III）由（II）得，bn=-(1+
+1 2
+…+1 22
)=-1 2n-1
=-2+1- 1 2n 1- 1 2
…（8分）1 2n-1
∴cn=
bn+2=-n+n 2
+2，…（9分）n 2n
则cn+1-cn=-(n+1)+
+2-[-n+n+1 2n+1
+2]n 2n
=
-n+1 2n+1
-1n 2n
=
-1＜0，1-n 2n+1
∴{cn}是减数列，
∴cn≤c1=-1+
+2=1 2
，3 2
要使7cn＜6log2 2m-18log2m对任意n∈N*恒成立，
只需6log22m-18log2m＞
，21 2
即4log 22m-12log2m-7＞0，
故log2m＜-
，或log2m＞1 2
，7 2
∴0＜m＜
，或m＞82 2
≈11.31，2
∴当m≥12，且m∈N*时，7cn＜6log2 2m-18log2m对任意n∈N*恒成立，
∴m的最小正整数值为12．