问题
解答题
| 设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件： （1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）； （2）当x＞1时，f（x）＜0； （3）f（3）=-1， （I）求f（1）、f(
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围． （III）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正数k的取值范围． |
答案
（I）令x=y=1易得f（1）=0．
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且f(9)+f(
)=f(1)=0，1 9
得f(
)=2．1 9
（II）设0＜x1＜x2＜+∞，由条件（1）可得f(x2)-f(x1)=f(
)，x2 x1
因
＞1，由（2）知f(x2 x1
)＜0，x2 x1
所以f（x2）＜f（x1），
即f（x）在R+上是递减的函数．
由条件（1）及（I）的结果得：f[x(2-x)]＜f(
)1 9
其中0＜x＜2，由函数f（x）在R+上的递减性，可得：
，x(2-x)＞ 1 9 0＜x＜2
由此解得x的范围是(1-
，1+2 2 3
)．2 2 3
（III）同上理，不等式f（kx）+f（2-x）＜2可化为kx(2-x)＞
且0＜x＜2，1 9
得k＞
，此不等式有解，等价于k＞[1 9x(2-x)
]min，1 9x(2-x)
在0＜x＜2的范围内，易知x（2-x）max=1，
故k＞
即为所求范围．1 9