问题
解答题
正项数列{an}中，前n项和为Sn，且a1=2，且an=2
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=
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答案
（1）由an=2
+2(n≥2)，得Sn-Sn-1=22Sn-1
+2(n≥2)，2Sn-1
∴Sn=Sn-1+22
+2=(Sn-1
+Sn-1
)2，2
∴
=Sn
+Sn-1
，2
∴{
}是首项为Sn
公差为2
的等差数列，∴2
=Sn
n，∴Sn=2n2，2
∴an=2
+2=4n-2(n≥2)，对n=1也成立，4(n-1)2
∴an=4n-2；
（2）证明：bn=
，2n+3 2n
Tn=
+5 21
+7 22
+…+9 23
，2n+3 2n
Tn=1 2
+5 22
+7 23
+…+9 24
+2n+1 2n
，2n+3 2n+1
两式相减，得
Tn=1 2
+5 2
+2 22
+…+2 23
-2 2n
=2 2n+1
-7 2
，2n+7 2n+1
所以T n=7-
，2n+7 2n
∵n∈N•∴
＞0∴Tn＜7，2n+7 2n
下面证明Tn≥
，5 2
∵Tn+1-Tn=
-2n+7 2n
=2n+9 2n+1
＞0，∴Tn+1＞Tn，∴{Tn}单调递增，2n+5 2n+1
∴Tn≥T1=
，5 2
∴
≤Tn＜75 2