问题
解答题
设y=f（x）为定义在区间I上的函数，若对I上任意两个实数x1，x2都有f(
（1）判断f(x)=
（2）已知函数f2（x）=x|ax-3|（a≠0）为区间[3，6]上的凹函数，请直接写出实数a的取值范围（不要求写出解题过程）； （3）设定义在R上的函数f3（x）满足对于任意实数x，y都有f3（x+y）=f3（x）•f3（y）．求证：f3（x）为R上的凹函数． |
答案
（1）f（x）是凹函数，证明如下：
∀x1，x2∈（0，+∞），∵
[f(x1)+f(x2)]=1 2
(1 2
+3 x1
)≥3 x2
≥3 x1x2
=f(3 x1+x2 2
)x1+x2 2
∴f(
)≤x1+x2 2
[f(x1)+f(x2)]，1 2
∴f(x)=
(x＞0)是凹函数3 x
（2）∵函数f2（x）=x|ax-3|=ax2-3x ax≥3 -ax2+3x ax＜3
结合二次函数的图象，要想使函数f2（x）为区间[3，6]上的凹函数，需a＜0或a＞0
≤33 a
∴a的取值范围为（-∞，0）∪[1，+∞）
（3）证明：设∀x1，x2∈R
f3(x1)+f3(x2)=f3(
+x1 2
)+f3(x1 2
+x2 2
)x2 2
=f32(
)+f32(x1 2
)≥2f3(x2 2
)•f3(x1 2
)=2f3(x2 2
)x1+x2 2
即
≥f3(f3(x1)+f3(x2) 2
)x1+x2 2
故f3（x）为R上的凹函数