已知 x1、x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根．（1）求

问题解答题

已知 x₁、x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=-

成立？若存在求出k的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵x₁、x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实数根，

∴△=b²-4ac=16k²-4×4k（k+1）=-16k≥0，且4k≠0，

解得k＜0；

（2）∵x₁、x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实数根，

∴x₁+x₂=1，x₁x₂=

k+1

，

∴（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=2x₁²-4x₁x₂-x₁x₂+2x₂²=2（x₁+x₂）²-9x₁x₂=2×1²-9×

k+1

=2-

9(k+1)

，

若2-

9(k+1)

成立，

解上述方程得，k=

，

∵（1）中k＜0，（2）中k=

，

∴矛盾，

∴不存在这样k的值．