问题 解答题

对称轴为坐标轴,顶点在坐标原点的抛物线C经过两点A(a,2a)、B(4a,4a)(其中a为正常数),

(1)求抛物线C的方程;

(2)设动点T(m,0)(m>a),直线AT、BT与抛物线C的另一个交点分别为A1、B1,当m变化时,记所有直线A1B1组成的集合为M,求证:集合M中的任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上。

答案

解:(1)当抛物线焦点在x轴上时,设抛物线方程y2=2px,

∴p=2a,

∴y2=4ax;

当抛物线焦点在y轴上时,设抛物线方程x2=2py,

∴方程无解,

∴抛物线不存在。

(2)设A1(as2,2as)、B1(at2,2at),T(m,0)(m>a),

∴as2+(m-a)s-m=0,

∵(as+m)(s-1)=0,

∴A1,-2m),

∵2at2+(m-4a)t-2m=0,

∴(2at+m)(t-2)=0,

∴t=

∴B1,-m),

的直线方程为y+2m=

∵直线的斜率为在(a,+∞)单调,

∴所以集合M中的直线必定相交,

∵直线的横截距为在(a,+∞)单调,纵截距为在(a,+∞)单调,

∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上。

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