问题
解答题
已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线y=-2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F作直线l与曲线C交于A、B两点．
（ⅰ）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，证明：MA⊥MB；
（ⅱ）是否在y轴上存在定点Q，使得无论AB怎样运动，都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．
答案
（1）依题意有
=|y+2|-1，由显然y＞-2，得(y-1)2+x2
=|y+1|，化简得x2=4y；(y-1)2+x2
（2）（ⅰ）∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+8．
A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
可得x2-4kx-4=0，x1+x2=4k，x1x2=-4y=kx+1 y=
x2.1 4
抛物线方程为y=
x2，求导得y′=1 4
x．1 2
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是kAM=
x1，kBM=1 2
x2，1 2
∴kAM•kBM=
x1×1 2
x2=1 2
x1x2=-1即AM⊥BM1 4
（ⅱ）设点Q（0，t），此时kAQ=
，kBQ=y1-t x1
，y2-t x2
由（ⅰ）可知故kAQ+kBQ=
+
-tx12 4 x1
=
-tx22 4 x2
=0对一切k恒成立x1x2(x1+x2)-4t(x1+x2) 4x1x2
即：k（8+t）=0
故当t=-1，即Q（0，-1）时，使得无论AB怎样运动，都有∠AQP=∠BQP