已知F(12，0)为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点N（x0，y0）（y0

问题解答题

已知F(

，0)为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，点N（x₀，y₀）（y₀＞0）为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线l与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且|NF|=

，kNA•kNB=-2．
（I）求抛物线方程和N点坐标；
（II）判断直线l中，是否存在使得△MAB面积最小的直线l'，若存在，求出直线l'的方程和△MAB面积的最小值；若不存在，说明理由．

答案

（Ⅰ）由题意

，

∴p=1，

所以抛物线方程为y²=2x．

|NF|=x0+

，

x₀=2，y₀²=4，

∵y₀＞0，

∴y₀=2，

∴N（2，2）．（4分）

（Ⅱ）由题意知直线的斜率不为0，

设直线l的方程为x=ty+b（t∈R）

联立方程

y2=2x

x=ty+b

得y²-2ty-2b=0，

设两个交点A(

y1，)，B(

，y2)（y₁≠±2，y₂≠±2）

∴

△=4t2 +8b＞0

y1+y2=2t

y1y2=-2b

，…（6分）

kPA•kPB=

y1-2

-2

y2-2

-2

(y1+2)(y2+2)

=-2，

整理得b=2t+3…（8分）

此时△=4（t²+4t+6）＞0恒成立，

由此直线l的方程可化为x-3=t（y+2），

从而直线l过定点E（3，-2）…（9分）

因为M（2，-2），

所以M、E所在直线平行x轴

三角形MAB面积S=

|ME||y1-y2|=

t2+4t+6

(t+2 )2+2

，…（11分）

所以当t=-2时S有最小值为

，

此时直线l'的方程为x+2y+1=0…（12分）