问题
解答题
已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线x=-2于点M，N．
（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）已知O为原点，求证：∠MON为定值．
答案
（本小题满分14分）
（Ⅰ）将E（2，2）代入y2=2px，得p=1，
所以抛物线方程为y2=2x，焦点坐标为（
，0）．…（3分）1 2
（Ⅱ）证明：设A（
，y1），B（y12 2
，y2），M（xM，yM），N（xN，yN），y22 2
因为直线l不经过点E，所以直线l一定有斜率
设直线l方程为y=k（x-2），
与抛物线方程联立得到
，消去x，得：y=k(x-2) y2=2x
ky2-2y-4k=0，
则由韦达定理得：
y1y2=-4，y1+y2=
，…（6分）2 k
直线AE的方程为：y-2=
(x-2)，y1-2
-2y12 2
即y=
(x-2)+2，2 y1+2
令x=-2，得yM=
，…（9分）2y1-4 y1+2
同理可得：yN=
，…（10分）2y2-4 y2+2
又∵
=(-2，yM)，OM
=(-2，-ON
)，4 yM
所以
•OM
=4+yMyN=4+ON
•2y1-4 y1+2 2y2-4 y2+2
=4+4[y1y2-2(y1+y2)+4] [y1y2+2(y1+y2)+4]
=4+
=0…（13分）4(-4-
+4)4 k 4(-4+
+4)4 k
所以OM⊥ON，即∠MON为定值
…（14分）．π 2