问题 解答题
数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2(an-1),数列{bn}中,b1=1,且点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)设Hn=
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bn-1bn
,求使得Hn
m
30
对所有的n∈N*都成立的最小正整数m;
(3)设Tn=
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an
,试比较Tn与3的大小关系.
答案

(1)∵Sn=2(an-1),∴Sn+1=2(an+1-1)

两式相减得:an+1=2an+1-2an

an+1
an
=2,又∵a1=2

∴{an}是以2为首项,以2为公比的等比数列,∴an=2n

又P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,

∴bn-bn+1+2=0⇒bn+1-bn=2,

又∵b1=1,∴}、{bn}是以1为首项,以2为公差的等差数列,∴bn=2n-1

(2)

1
bn-1bn
=
1
(2n-3)(2n-1)
=
1
2
(
1
2n-3
-
1
2n-1
)

Hn=

1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bn-1bn
=
1
2
(1-
1
2n-1
)

要使

1
2
(1-
1
2n-1
)<
m
30
所有的n∈N*都成立,必须且仅需满足
1
2
m
30
⇒m≥15

所以满足要求的最小正整数为15,

(3)Tn=

1
2
+
3
22
+
5
23
+…+
2n-1
2n
1
2
Tn=
1
22
+
3
23
+
5
24
+…+
2n-1
2n+1

相减得:

1
2
Tn=
1
2
+(
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
)-
2n-1
2n+1

化简得Tn=3-

1
2n-2
-
2n-1
2n
<3

所以Tn<3

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