问题
解答题
函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）．
（1）求f（1）与f（-1）的值；
（2）判断函数的奇偶性并证明；
（3）若x＞1时，f（x）＞0，求证f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（4）在（3）的条件下，若f（4）=1，求不等式f（3x+1）≤2的解集．
答案
（1）令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
令x1=x2=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）=f（1）=0，解得f（-1）=0．
（2）令x1=-1，x2=x，有f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），定义域关于原点对称可得f（x）是偶函数．
（3）设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则
＞1，f(x2 x1
)＞0，x2 x1
则f(x2)=f(
•x1)=f(x2 x1
)+f(x1)＞f(x1)，x2 x1
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（4）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，
由f（3x+1）≤2变形为f（3x+1）≤f（16）．
∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）=f（|x|），在（3）的条件下有f[|3x+1|]≤f（16）
∴|3x+1|≤16且3x+1≠0，解得x∈[-
，-17 3
)∪(-1 3
，5]．1 3