问题
解答题
记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2+
（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn； （2）记bn=an-
（3）试问：在数列{an}中是否存在三项ar，as，at（r＜s＜t，r，s，t∈N*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）因为a1=2+
，S3=3a1+3d=12+32
，所以d=2．2
所以an=a1+（n-1）d=2n+
，Sn=2
=n(a1+an) 2
=n2+(n(2+
+2n+2
)2 2
+1)n；2
（2）因为bn=an-
=2n，所以bnk=2nk．2
又因为数列{bnk}的首项bn1=b1=2，
公比q=
=bn2 bn1
=3，所以bnk=2•3k-1．3 1
所以2nk=2•3k-1，即nk=3k-1．
（3）假设存在三项ar，as，at成等比数列，则as2=ar•at，
即有(2s+
)2=(2r+2
)(2t+2
)，整理得(rt-s2)2
=2s-r-t．2
若rt-s2≠0，则
=2
，因为r，s，t∈N*，所以2s-r-t rt-s2
是有理数，2s-r-t rt-s2
这与
为无理数矛盾；2
若rt-s2=0，则2s-r-t=0，从而可得r=s=t，这与r＜s＜t矛盾．
综上可知，不存在满足题意的三项ar，as，at．