（1）依题意，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为

5

4

．

∴1+

p

2

=

5

4

，解得p=

1

2

．

所以曲线C的方程为x²=y．…（4分）

（2）由题意直线PQ的方程为：y=k（x-1）+1，则点M（1-

1

k

，0）

联立方程组

y=k(x-1)+1 y=x2

，消去y得x²-kx+k-1=0

解得Q（k-1，（k-1）²）．…（6分）

所以得直线QN的方程为y-（k-1）²）=-

1

k

(x-k+1)．

代入曲线x²=y，得x2+

1

k

x-1+

1

k

-(1-k)2=0．

解得N（1-

1

k

-k，(1-

1

k

-k)2）．…（8分）

所以直线MN的斜率k_MN=

(1- 1 k -k)2

1- 1 k -k-1+ 1 k

=-

(1- 1 k -k)2

k

．…（10分）

∵过点N的切线的斜率k′=2(1-

1

k

-k)．

∴由题意有-

(1- 1 k -k)2

k

=2(1-

1

k

-k)．

∴解得k=

-1± 5

2

．

故存在实数k=

-1± 5

2

使命题成立．                                …（12分）