问题
解答题
| 已知函数f（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*），且y=f（x）的图象经过点（1，n2），n=1，2，…，数列{an}为等差数列． （I）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）当n为奇数时，设g(x)=
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答案
（I）由题意得f（1）=n2，即a1+a2+a3+…+an=n2
令n=1，则a0+a1=1，
令n=2则a0+a1+a2=22，
a2=4-（a0+a1）=3
令n=3则a0+a1+a2+a3=32
a3=9-（a0+a1+a2）=5
设等差数列{an}的公差为d，则d=a3-a2=2，a1=1
∴an=1+（n-1）×2=2n-1
（II）由（I）知：f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn
n为奇数时，f（-x）=-a1x+a2x2-a3x3+…-anxn
∴g（x）=
[f（x）-f（-x）=a1x+a3x3+a5x5…+anxn1 2
g（
）=1×1 2
+5×(1 2
)3+9×(1 2
)5+…+(2n-1)×(1 2
)n①1 2
g(1 4
)=1× (1 2
)3 +5×(1 2
)5+…+(2n-1)×(1 2
)n+2②1 2
由①-②得：
×g(3 4
)=41 2
-（2n-1）×(
(1-1 2
)1 2n+1 1- 1 4
)n+2-1 2 3 2
∴g（
）=1 2
-14 9
× (13 9
)n-1 2
(2n 3
)n＜1 2 14 9
设cn=
(2n 3
)n1 2
∵cn+1-cn=
(1-n)×(1 3
)n≤01 2
∴cn随n的增大而减小，又
×(13 9
)n随n的增大而减小1 2
∴g（
）为n的增函数，1 2
当n=1时，g（
）=1 2 1 2
而g（
）＜1 2 14 9
∴
≤g(1 2
)＜1 2 14 9
易知：使m＜g(
)＜M恒成立的m的最大值为0，M的最小值为2，1 2
∴M-m的最小值为2．