问题
解答题
设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M(0，
（1）求点P的轨迹方程； （2）若直线l：y=kx+1与点P的轨迹相交于A、B两点，且|AB|=2
（3）设点P的轨迹是曲线C，点Q（1，y0）是曲线C上的一点，求以Q为切点的曲线C 的切线方程． |
答案
（1）过P作x轴的垂线且垂足为N，
由题意可知|PM|-|PN|=
，1 2
而y≥0，∴|PN|=y，
∴
=y+x2+(y-
)21 2
，1 2
化简得x2=2y（y≥0）为所求的方程．…（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
得x2-2kx-2=0，y=kx+1 x2=2y
∴x1+x2=2k，
x1x2=-2|AB|=1+k2
=(x1+x2)2-4x1x2 1+k2
=24k2+8 6
∴k4+3k2-4=0而k2≥0，
∴k2=1，
∴k=±1．…（8分）
（3）因为Q（1，y0）是曲线C上一点，
∴x02=2y0，
∴y0=
，1 2
∴切点为(1，
)，1 2
由y=
x2求导得y'=x，1 2
∴当x=1时k=1，
则直线方程为y-
=(x-1)，1 2
即2x-2y-1=0是所求切线方程．…（14分）
