问题
解答题
设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的正整数n都有等式
（1）求证Sn=
（2）求数列{Sn}的通项公式； （3）记数列{
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答案
（1）当n=1时，a1=2．
当n≥2时，
an=sn-sn-1=4•
，Sn an+2
∴Sn=
an2+1 4
an，1 2
当n=1时，也符合Sn=
an2+1 4
an，1 2
∴Sn=
an2+1 4
an(n∈N*)1 2
（2）当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=
an2+1 4
an-1 2
an-12-1 4
an-1，1 2
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵an＞0，
∴an-an-1=2
于是数列{an}是首项为2，
公差为2的等差数列．∴Sn=n×2+
×2=n(n+1)）n(n-1) 2
（3）由（2）知
=1 Sn
=1 n(n+1)
-1 n 1 n+1
∴Tn=
+1 S1
+1 S2
+…+1 S3 1 Sn
=1-
＜11 n+1