设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan-2n（n-1），n∈

问题解答题

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1），n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（III）求使不等式(1+

a1+1

)(1+

a2+1

)…(1+

an+1

)≥p

2n+1

对一切n∈N^*均成立的最大实数p的值．

答案

（I）证明：∵a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1），

S_n+1=（n+1）a_n+1-2（n+1）n，

∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n，

∴a_n+1-a_n=4，

∴数列{a_n}是首项为1，公差为4的等差数列，

∴a_n=1+（n-1）•4=4n-3．

（II）由（I）知：a_n=4n-3，

∴bn=

4n-3

，

∴Tn=

+…+

4n-7

2n-1

4n-3

，

∴

Tn=

2 2

+…+

4n-7

4n-3

2n+1

，

两式相减，得：

Tn=

+4(

2 2

2 3

2 4

+…+

2 n

）-

4n-3

2n+1

+4×

2 2

(1-

2 n-1

)

4n-3

2n+1

+2-

2 n-1

4n-3

2n+1

，

∴Tn=5-

4n+5

．

（III）∵(1+

a1+1

)(1+

a2+1

)…(1+

an+1

)≥p

2n+1

对一切n∈N^*均成立，

即p≤

2n+1

(1+

a1+1

)(1+

a2+1

)…(1+

an+1

)对一切n∈N^*均成立，

只需p≤[

2n+1

(1+

a1+1

)(1+

a2+1

)…(1+

an+1

)]min_min，n∈N^*，

令f(n)=

2n+1

(1+

a1+1

)(1+

a2+1

)…(1+

an-1+1

)，n≥2，且n∈N^*，

则f(n-1)=

2n-1

(1+

a1+1

)(1+

a2+1

)…(1+

an-1+1

)，n≥2，且n∈N^*，

f(n)

f(n-1)

2n-1

2n+1

(1+

an+1

2n-1

2n+1

•

2n-1

4n2-1

＞1，n≥2，且n∈N^*，

∴f（n）＞f（n-1），n≥2，且n∈N^*，

即f（n）在n∈N^*上为增函数，

∴f(n) min=f(1)=

，

∴p≤

，

故实数p的最大值是

．