已知直线l交抛物线C：y2=2px（p＞0）于A，B两点，且∠AOB=90°，其

问题解答题

已知直线l交抛物线C：y²=2px（p＞0）于A，B两点，且∠AOB=90°，其中，点O为坐标原点，点A的坐标为（1，2）．

（I）求抛物线C的方程；

（II）求点B的坐标．

答案

（I）因为点A（1，2）在抛物线y²=2px上，

所以2²=2p，-------------（2分）

解得p=2，-------------（3分）

故抛物线C的方程为y²=4x．-------------（4分）

（II）设点B的坐标为（x₀，y₀），由题意可知x_0≠0，

直线OA的斜率k_OA=2，直线OB的斜率k_OB=

，

因为∠AOB=90°，所以k_OA•k_OB=

2y0

=-1，-------------（6分）

又因为点B（x₀，y₀）在抛物线y²=4x上，

所以y₀²=4x₀，-------------（7分）

联立

=4x0

2y0=-x0

解得

x0=16

y0=-8

或

x0=0

y0=0

（舍），-------------（9分）

所以点B的坐标为（16，-8）．-------------（10分）