已知顶点为原点O，焦点在x轴上的抛物线，其内接△ABC的重心是焦点F，若直线BC的方程为4x+y-20=0．
（1）求抛物线方程；
（2）轴上是否存在定点M，使过M的动直线与抛物线交于P，Q两点，满足∠POQ=90°？证明你的结论．
（1）设抛物线的方程为y2=4px，则其焦点为（p，0）
与直线方程4x+y-20=0联立，有：（-4x+20）2=4px
∴4x2-（p+40）x+100=0，且y=-4x+20
该方程的解为B，C两点的坐标（x2，y2），（x3，y3）
x2+x3=
（1）p+40 4
y2+y3=-4（x2+x3）+40=-p （2）
设A（x1，y1）
∵A在抛物线上
∴y12=4px1（3）
△ABC重心坐标为：（
，x1+x2+x3 3
）y1+y2+y3 3
∵重心为抛物线焦点
∴
=p，x1+x2+x3 3
=0y1+y2+y3 3
将（1），（2）代入，得：
x1+
=3p，y1-p=0p+40 4
与（3）联立，三个方程，x1，y1，p三个未知数，可解
解得：p=4
故抛物线的方程为y2=16x．
（2）设点M（a，b） P（x4，y4） Q（x5，y5）
①当直线L的斜率不存在时 即 x4=x5=a 且 a＞0
则：令 y4=4
，y5=-4a a
∵∠POQ=90°∵
=（a，-4OQ
）a
=（a，4OP
）a
∴
•OQ
=a2-16a=0OP
解得：a=16 或 a=0（舍去）
②当直线L的斜率存在时 设斜率为k 则 直线L的方程为：
y-b=k（x-a） （k≠0）
∴联立方程：y-b=k(x-a) y2=16x
消去x 得：ky2-16y+16b-16ka=0
∴y4+y5=
，y4×y5=16 k 16b-16ka k
∴x4×x5=(ka-b)2 k2
∵∠POQ=90°
∴
•OQ
=x4×x5+y4×y5=OP
+16b-16ka k
=0(ka-b)2 k2
即：k2（a2-16a）+k（16b-2ab）+b2=0对任意的k≠0都恒成立
∴有方程组：
且a≠0a2-16a=0 16b-2ab=0 b2=0
∴解得：a=16，b=0
∴点M（16，0）
综上所述：存在定点M，使得以线段PQ为直径的圆经过坐标原点，
点M的坐标为：（16，0）