（1）由a1=S1=

1

6

(a1+1)(a1+2)，解得a₁=1或a₁=2，由假设a₁=S₁＞1，因此a₁=2，

又由an+1=Sn+1-Sn=

1

6

(an+1+1)(an+1+2)-

1

6

(an+1)(an+2)，

得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0，

即a_n+1-a_n-3=0或a_n+1=-a_n，因a_n＞0，故a_n+1=-a_n不成立，舍去

因此a_n+1-a_n=3，从而{a_n}是公差为3，首项为2的等差数列，

故{a_n}的通项为a_n=3n-1

证明：由an(2bn-1)=1可解得bn=log2(1+

1

a2

)=log2

3n

3n-1

；

从而Tn=b1+b2++bn=log2(

3

2

•

6

5

••

3n

3n-1

)

因此3Tn+1-log2(an+3)=log2(

3

2

•

6

5

••

3n

3n-1

)3•

2

3n+2

令f(n)=(

3

2

•

6

5

••

3n

3n-1

)3•

2

3n+2

，则

f(n+1)

f(n)

=

3n+2

3n+5

•(

3n+3

3n+2

)3=

(3n+3)3

(3n+5)(3n+2)2

因（3n+3）³-（3n+5）（3n+2）²=9n+7＞0，故f（n+1）＞f（n）

特别地f(n)≥f(1)=

27

20

＞1，从而3T_n+1-log₂（a_n+3）=log₂f（n）＞0、

即3T_n+1＞log₂（a_n+3）