问题
解答题
| 已知抛物线C的顶点在原点，焦点为（0，1），点P（0，m）（m≠0）． （1）求抛物线的方程； （2）设过点P且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，点P关于原点的对称点Q，若m＜0，求使得△QAB面积最大的m的值； （3）设过P点的直线交抛物线C于M、N两点，是否存在这样的点P，使得
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答案
（1）设抛物线C的方程是x2=ay，
则
=1，a 4
即a=4．
故所求抛物线C的方程为x2=4y．
（2）y=x+m代入x2=4y，得
x2-4x-4m=0，
|AB|=
|x2-x1| =42
，2(1+m)
∴S△QAB=-4m
=4m+1
(m＜0)m3+m2
| m | m＜-
| -
| -
| ||||||
| 3m2+2m | + | 0 | - |
| 2 |
| 3 |
（3）假设存在这样的点P，设直线MN的方程为y=kx+m，
代入方程，得x2-4kx-4m=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
△＞0，k2+m＞0，x1+x2=4k，x1x2=-4m，
①当m＜0时，
+1 |PM|
=1 |PN|
（1 1+k2
+1 |x1|
）=1 |x2|
不是定值．|4k| -4m 1+k2
②当m＞0时，
+1 |PM|
=1 |PN| 1 1+k2
=|x1-x2| |x1x2|
=|x1-x2| |x1x2|
，m+k2 m 1+k2
在上式中，令k=0，1，得
= m
，m=1，m+1 2
∴m=1时，
+1 |PM|
为定值，1 |PN|
存在点P（0，1）．