（1）∵方程x²-x-2m=0有两个不相等的实数根，

∴△＞0，即△=1²-4×1×（-2m）=1+8m＞0，

解得m＞-

1

8

，

∴实数m的取值范围是m＞-

1

8

．

（2）∵关于x的方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0有两个不相等的实数根，

∴k≠0且△＞0，即△=（k+2）²-4×k×

k

4

=4k+4＞0，

解得k＞-1，

∴实数k的取值范围是k＞-1且k≠0．

（3）∵方程4x²+mx+9=0有两个相等的实数根，

∴△=0，即△=m²-4×4×9=0，

解得m=±12，

当m=12，方程变为：4x²+12x+9=0，（2x+3）²=0，

解得x₁=x₂=-

3

2

；

当m=-12，方程变为：4x²-12x+9=0，（2x-3）²=0，

解得x₁=x₂=

3

2

；

故答案为：（1）m＞-

1

8

；（2）k＞-1且k≠0；（3）±12；当m=12，x₁=x₂=-

3

2

；当m=-12，x₁=x₂=

3

2

．