（Ⅰ）由已知得，当n=1时，a₁³=S₁²=a₁²，

又∵a_n＞0，∴a₁=1

当n≥2时，a₁³+a₂³++a_n³=S_n²①

a₁³+a₂³++a_n-1³=S_n-1²②

由①-②得，a_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=a_n（S_n+S_n-1）

∴a_n²=S_n+S_n-1=2S_n-a_n（n≥2）

显然当n=1时，a₁=1适合上式．

故a_n²=2S_n-a_n（n∈N^*）

（Ⅱ）由（I）得，a_n²=2S_n-a_n③

a_n-1²=2S_n-1-a_n-1（n≥2）④

由③-④得，a_n²-a_n-1²=2S_n-2S_n-1-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1

∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=1（n≥2）

故数列a_n是首项为1，公差为1的等差数列．

∴a_n=n（n∈N^*）

（III）∵a_n=n（n∈N^*），∴b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ

∴b_n+1-b_n=3ⁿ⁺¹-3ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺¹-（-1）^n-1λ•2ⁿ=2×3ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ

要使b_n-1＞b_n恒成立，只须（-1）^n-1 λ＜(

3

2

)^n-1

（1）当n为奇数时，即λ＜(

3

2

)n-1恒成立，

又(

3

2

)n-1的最小值为1，∴λ＜1

（2）当为偶数时，即λ＞(

3

2

)n-1恒成立，

又-(

3

2

)n-1的最大值为-

3

2

，

∴λ＞-

3

2

，∴由（1）（2）得-

3

2

＜λ＜1，

又λ=0且为整数，∴λ=-1对所有n∈N⁺，都有b_n+1＞b_n成立．