（1）∵对任意实数b，f（x^b）=bf（x），f（10）=1，

∴f（1）=f（10⁰）=0×1=0，

f（

1

2

）=f（10^lg

1

2

）=lg

1

2

×1=lg

1

2

f（

1

4

）=f[（

1

2

）²]=2f（

1

2

）=2lg

1

2

．

因为f（k-1002）=f（10^{lg（k-1002）}）=lg（k-1002）=lg1002

∴k=2004．

（2）设x，y∈（0，+∞），

当x≠1时，

f（xy）=f（x•xlogxy）

=x1+logxy

=（1+log_xy）f（x）

=f（x）+log_xy•f（x）

=f（x）+f（xlogxy）

=f（x）+f（y）．

当x=1时，因为f（1）=0也适合，

故对任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．

（3）因为x＞1时，

f（x）=f（10^lgx）=lgx•f（x）=lgx＞0，

设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，所以f（

x2

x1

）＞0．

由（2）知f（x₂）=f（

x2

x1

•x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）＞f（x₁），

所以f（x）是（0，+∞）上的增函数