已知点集L={(x，y)|y=m•n}，其中m=(2x-b，1)，n=(1，1+

问题解答题

已知点集L={(x，y)|y=

•

}，其中

=(2x-b，1)，

=(1，1+b)，又知点列P_n（a_n，b_n）∈L，P₁为L与y轴的交点．等差数列{a_n}的公差为1，n∈N^*．
（Ⅰ）求P_n（a_n，b_n）；
（Ⅱ）若f(n)=

an，n=2k-1

bn，n=2k

k∈N*，f(k+11)=2f(k)，求出k的值；
（Ⅲ）对于数列{b_n}，设S_n是其前n项和，是否存在一个与n无关的常数M，使

S2n

=M，若存在，求出此常数M，若不存在，请说明理由．

答案

（I）由题设有L={（x，y）|y=2x+1}，故L为直线y=2x+1，它与y轴的交点为P₁（0，1）（2分）

∴a₁=0，又数列{a_n}是以1为公差的等差数列，所以a_n=n-1，b_n=2a_n+1=2（n-1）+1=2n-1

故P_n（n-1，2n-1）（5分）

（II）f(n)=

n-1，n=2k-1

2n-1，n=2k

(k∈N*)（5分）

当k为奇数时，f（k+11）=2f（k）⇒2（k+11）-1=2（k-1）⇒k不存在；

当k为偶数时，f（k+11）=2f（k）⇒（k+11）-1=2（2k-1）⇒k=4．（10分）

（III）∵b_n=2n-1，∴S_n=n²，假设存在与n无关的常数M，使

S2n

即

(2n)2

=M⇒M=

，故存在与n无关的常数M=

，使

S2n

=M．（14分）