问题
解答题
已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a3+b4=24，S5-b4=24．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）对任意n∈N*，是否存在正实数λ，使不等式an-9≤λbn恒成立，若存在，求出λ的最小值，若不存在，说明理由．
答案
（1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
∵a1=b1=2，a3+b4=24，S5-b4=24．
∴
，解得2+2d+2q3=24 10+10d-2q3=24
．d=3 q=2
∴an=3n-1，bn=2n
（2）假设存在正实数λ，使不等式an-9≤λbn恒成立，
∴3n-1-9≤λ•2n，即λ≥
对任意n∈N*恒成立．3n-10 2n
设cn=
，3n-10 2n
则cn+1-cn=
-3(n+1)-10 2n+1
=3n-10 2n
，13-3n 2n+1
当n≥5时，cn+1＜cn，{cn}为单调递减数列；
当1≤n＜5时，cn+1＞cn，{cn}为单调递增数列．
又c4=
＜c5=1 8
，5 32
所以当n=5时，cn取得最大值5 32
所以要使λ≥
对任意n∈N*恒成立，3n-10 2n
则λ≥
，5 32
即λmin=
．5 32