已知抛物线y2=2px（p＞0），点P（85，45），线段OP的垂直平分线经过抛

问题解答题

已知抛物线y²=2px（p＞0），点P（

，

），线段OP的垂直平分线经过抛物线的焦点F，经过F作两条互相垂直的弦AB、CD、，设AB、CD的重点分别为M、N
（1）求抛物线的方程；
（2）直线MN是否经过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，试说明理由．

答案

（1）由p（

，

），O（0，0），

∴k_OP=

，线段OP的中点为：（

，

），

∴OP的垂直平分线所在直线方程y-

=-2(x-

)，即2x+y-2=0．

令y=0，解得：x=1，故得：p=2

抛物线方程为：y²=4x…..（4分）

（2）假设直线MN国定点

设A（x_A，y_A），B （x_B，y_B），M（x_M，y_M），

设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1）

与抛物线联立可得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0

由韦达定理：x_A+x_B=2+

k 2

∴x_M=

k 2

∴点M的坐标为（

k 2

+1，-2k）

当k≠±1

直线MN的斜率为：

1-k 2

方程为：y+2k=

1-k 2

（x-2k²-1

整理得：y（1-k²）=k（x-3）

直线恒经过定点（3，0）

当k=±1时，直线MN方程为X=3，经过（3，0）

综上，不论k为何值，直线MN恒过定点（3，0）…（12分）