（Ⅰ）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0⇒f（0）=0（3分）

（Ⅱ）f（1）=1，

f(2)=f(1+1)=1+1+2=4 f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9 f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16

（2分）

猜想f（n）=n²，下用数学归纳法证明之．

当n=1时，f（1）=1满足条件

假设当n=k时成立，即f（k）=k²

则当n=k+1时f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=k²+1+2k=（k+1）²

从而可得当n=k+1时满足条件

对任意的正整数n，都有 f（n）=n²                （5分）

（Ⅲ）f（1）≥1，则f(1)=2f(

1

2

)+2×

1

2

×

1

2

≥1⇒f(

1

2

)≥

1

4

＞0

假设n=k（k∈N^*）时命题成立，即f(

1

2k

)≥

1

22k

＞0，则f(

1

2k

)=2f(

1

2k+1

)+2×

1

2k+1

×

1

2k+1

≥

1

22k

⇒f(

1

2k+1

)≥

1

22(k+1)

，

由上知，则f(

1

2n

)＞0(n∈N*)．（4分）