问题
解答题
已知对∀x，y＞0，有f（x，x）=x，f（x，y）=f（y，x），（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）
（1）求f（1，4），f（2，8）的值；
（2）求f（1，n），f（2，2n），其中n∈N*；
（3）求证：f（2，2n）＞f（1，n）对∀n∈N*恒成立．
答案
由条件有：f(x，x+y)=
f(x，y)，x+y y
（1）∴f(1，4)=
f(1，3)=4 3
×4 3
f(1，2)=3 2
×4 3
×3 2
f(1，1)=4；2 1
∴f(2，8)=
f(2，6)=8 6
×8 6
×6 4
f(2，2)=8．4 2
（2）由（1）知：
f(1，n)=
×n n-1
×…×n-1 n-2
f(1，1)=n，2 1
f(2，2n)=
×2n 2n-2
×…×2n-2 2n-4
f(2，2)=2n；4 2
（3）由（2）知：即求证：2n＞n对∀n∈N*恒成立
证明如下：
（1）当n=1时，21＞1显然成立
（2）当n＞1时，设n=k时成立，即：2k＞k，
那么当n=k+1时，2k+1=2×2k＞2k=k+k＞k+1成立．
由（1）和（2）命题对∀n∈N*恒成立．