问题
单项选择题
下列命题 ①若函数F(x)、Φ(x)是同一个函数f(x)在区间I上的两个原函数，则其差F(x)-Φ(x)等于确定的常数 ②设F'(x)、Φ'(x)，f(x)在集合D上有定义，且满足F'(x)=Φ'(x)=f(x)，则F(x)-Φ(x)≡C ③若取积分常数C=0，则可积函数f(x)的原函数唯一 ④若f(x)在区间I上有原函数，则f(x)的任意两个原函数之和必为2f(x)的原函数 中正确的是
A．(A) ①、②．
B．(B) ②、③．
C．(C) ①、④．
D．(D) ③、④．
答案
参考答案：C
解析：
[分析] 对于①：由题设，有F'(x)=f(x)，Φ'(x)=f(x)，于是[Φ(x)-F(x)]'=Φ'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0．由“在一个区间上导数恒为零的函数必为常数”可知，Φ(x)-F(x)=C0(C0为某个常数)．故①正确．
对于②：例如函数F(x)=arctanx，，在集合D=(-∞，-1)∪(-1，1)∪(1，+∞)内满足：F'(x)=Φ'(x)=f(x)，但是
这说明在D内F(x)-Φ(x)≠C．这与“函数的任意两个原函数之差为常数”的结论并无矛盾，因为原函数是建立在某一区间上的．故②不正确．
对于③：例如函数e2x为连续函数，从而
若取C=0，得e2x的一个原函数，但容易证明exshx，exchx也是e2x的原函数．又如，函数arcsin(2x-1),arocos(1-2x)和的原函数．
对于④：由不定积分的性质可知④正确．
综上分析，应选(C)．